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Leyes de logica

 
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cesar bernaez



Registrado: 10 May 2007
Mensajes: 6

MensajePublicado: Dom May 27, 2007 11:20 pm    Asunto: Leyes de logica Responder citando

Cesar Bernaez …C.I:18.895.053
ING .Mecánica..Matutino
Aula”1” Sección ”A”

Leyes de la Lógica:
Las leyes lógicas, son proposiciones universales, necesarias, evidentes y verdaderas. Dichas leyes son cuatro, el principio de identidad, el de contradicción, el de tercero excluido y el de razón suficiente.

El principio de identidad nos dice que una cosa es idéntica a si misma, lo que es, es; lo que no es, no es:

A es A, o no A es no A

El principio de contradicción nos dice que es imposible afirmar y negar que una cosa es y no es al mismo tiempo y bajo la misma circunstancia.

A no es no A

O bien, también puede enunciarse que dos proposiciones contradictorias no pueden ser a la vez verdaderas

El principio de tercero excluso nos dice que una cosa es o no es, no cabe un término medio:

A es B, o A no es B.

O bien, también puede enunciarse como no hay medio entre dos proposiciones contradictorias

El principio de razón suficiente nos señala que todo ser tiene una razón de ser, es decir, una razón suficiente que lo explique:

A es la razón de B

Leyes de la Inferencia:

P v ¬P ≡ V Ley Medio Exclusivo
P Λ ¬P ≡ F Ley de Contradicción
P v F ≡ P Ley de Identidad
P Λ V ≡ P Ley de “”””””””””
P v V ≡ V Ley de Dominación
P Λ F ≡ F Ley de “”””””””””””
P v P ≡ P Ley de Indepotencia
P Λ P ≡ P Ley de “””””””””””””
¬(¬P) ≡ P Ley de doble negación
P v Q ≡ Q v P Ley Conmutativa
P Λ Q ≡ Q Λ P Ley de “””””””””
(P v Q) v R ≡ P v (Q v R) Ley Asociativa
(P Λ Q) Λ R ≡ P Λ (Q Λ R) Ley de “”””””””
(P v Q) Λ (P v R) ≡ P v (Q Λ R) Ley Distributiva
(P Λ Q) v (P Λ R) ≡ P Λ (Q v R) Ley de “””””””””
¬(P v Q) ≡ ¬P Λ ¬Q Ley de Morgan
¬(P Λ Q) ≡ ¬P v ¬Q Ley de “””””””””
P → Q ≡ ¬P v Q Ley de Eliminación
P ↔ Q ≡ (P Λ Q) v (¬P Λ ¬Q) Ley de “”””””””

MODUS PONENDO PONENS (MPP)

P entonces q “si llueve, entonces las calles se mojan”(premisa)
P “Llueve”(Premisa)
Q “Luego, las calles se mojan (conclusión)

El condicional o implificacion es aquella operación qu establee entre dps enunciados una relacion de causa- efecto. La regla poniendo ponens significa, “afirmado afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer termino,en este caso p)se afirma, necesariamente se afirma el consecuente(segundo termino, en este caso q).


MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT): SIGNIFICA”negando niego”,y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referiamos en primer lugar.

P entonces q “ Si llueve, entonces las calles se mojan”
-q”Las calles no se mojan”
-“luego, no llueve”

Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado(el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente(la causa), puesto que si un efecto no se da , su causa no ha podido darse. Esto nos permite formular una regla combinada d las ambas anteriore,consecuencia ambas de una misma propiedad de la implificacion es un flecha que apunta en un unico sentido, lo que hace que solo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar solo a partir del consecuente.


DOBLE NEGACION(DN)

CONJUCION(C):Si si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisias separadas, mediante la adjuncion, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador ^(conjucion)
P “Juan es cocinero”
q “Juan es cocinero y Pedro es policia”


SIMPLIFICACION(S): Obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unisdos por una conjucion, podemos hacer de los miembros dos enunciados afirmados por separado.
p ^ q “Tengo una manzana y una pera”
p “Tengo una manzana”
q “Tengo una pera”

MODUS TOLLENDO PONENS (TP): La disyuncion, que se simboliza con el operador V, representa una eleccion entre dos enunciados. Ahora bien , en esa eleccion forma parte de la sposibileidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es compatibles, si bien, ambos no pueden ser falsos. A partir de lo anterior , se deduce la siguiente regla denominada tollendo ponens(negando afirmo): si uno de los miembros de una disyuncion es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los terminos de la eleccion ha sido descartado.

P V q “He ido al cine o me he ido de compras”
-q “No he ido de compras”
P”Por tanto , he ido de compras”


LEY DE LA ADICCION: Dado un enunciado cualquiera, es pisible expresarlo como una eleccion (disyuncion) acompañado por cualquier otroenunciado.
P “He comprado manzanas”
P V q “He comprado manzanas o he comprado peras”

SILOGISMO HIPOTETICO(SH): Dados dos implicaciones de las cuales el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemosola construir unaa nueva implificacion cuyo anecedente sea la el de aquella implificacion cuya consecuencia sea el antecedente de la otra imolicacion, cuyo consecuente sea el de esta ultima, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y esta consecuencia es una de una segunda consecuencia ,se puede decir que esa primera causa es una causa de esta segunda consecuencia , del mimos modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia logica:

p entonces q“Si una bola roja golpea a la bola blanca,la bola blanca se mueve”
q entonces r “Si la bola blanca golpea a la bola negra se mueve”
p entonces r “Si la bola blanca golpea a la bola negra , la bola negra se mueve”

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS):Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyuncion cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concliuir en una nueva premisa en forma de disyuncion, cuyos miembros serian los consecuentes de las implicaciones. Lógicamente, si planteamos una eleccion entre dos causas. Podemos plantear una eleccio igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.

P entonces q “Si llueve, entonces las calles se mojan”
R entonces s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”
p V r “Llueve o la tierra tiembla”
p V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”


SIMPLIFICACION DISYUNTIVA (SD): Si didsponemos de dos premisas que corresponden a dos implificaciones con elmismos consecuente, y sus antecedentes se corresponde con los dos miembros de una disyuncion, podemos concluir con el consecuente d ambas implicaciones.

P v q “Helado de fresa o helado de vainilla”
P entonces r “Si tomamos helado de fresa entonces repites”
Q entonces r “Si tomamos helado de vainilla entonces repites”
r luego ,repites


LEY CONMUTATIVA: Esta ley, no es valida para la implificacion, pero si para conjucion y para la disyuncion. Una conjucion es afirmar que se dan dos cosas a las vez, de modo que el orden de sus elementos no cambian este hecho. Igualmente, una disyuncion es presentar una eleccion entre dos cosas , sin importar en que orden se presente esta eleccion. Asi pues, P ^ q si y solo si q ^p <<p y q>> equivale a <<q y p>>
Pvq si q solo si qvp “<<p o q>>equivale a <<q o q>>


LEYES DE MORGAN(DM): Esta ley permite trasformar una disyuncion en una conjucion, y viceversa, es decir, una conjucion en una disyuncion. Cuando se pasa de otra, se cambia los valores de afirmación y negacion de los terminos de la disyuncion/ conjucion asi como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:
P ^ q p v q
-(-pv-q) – (-q ^ -

Cesar Bernaez …C.I:18.895.053
ING .Mecánica..Matutino
Aula”1” Sección ”A
N.Lista:6
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MensajePublicado: Dom May 27, 2007 11:20 pm    Asunto: Advertisement

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Invitado






MensajePublicado: Dom May 27, 2007 11:49 pm    Asunto: Responder citando

*Leyes de la lógica

Las leyes lógicas, son proposiciones universales, necesarias, evidentes y verdaderas. Dichas leyes son cuatro, el principio de identidad, el de contradicción, el de tercero excluido y el de razón suficiente.

El principio de identidad nos dice que una cosa es idéntica a si misma, lo que es, es; lo que no es, no es:

A es A, o no A es no A

El principio de contradicción nos dice que es imposible afirmar y negar que una cosa es y no es al mismo tiempo y bajo la misma circunstancia.

A no es no A

O bien, también puede enunciarse que dos proposiciones contradictorias no pueden ser a la vez verdaderas

El principio de tercero excluso nos dice que una cosa es o no es, no cabe un término medio:

A es B, o A no es B.




O bien, también puede enunciarse como no hay medio entre dos proposiciones contradictorias

El principio de razón suficiente nos señala que todo ser tiene una razón de ser, es decir, una razón suficiente que lo explique:

A es la razón de


*Tipos de Lógica

Podemos clasificar los tipos de lógica desde dos puntos de vista, la lógica clásica y la moderna. Sin embargo dicha clasificación sólo sirve para efectos históricos, de ahí que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lógica, respecto a los objetos que trata.

La Lógica Formal es conocida también como lógica clásica o aristotélica, Se imputa al filosofo ARISTOTELES ser el creador de la misma, aunque ya existían antecedentes en PARMENIDES y ZELEO.. Así mismo con el paso del tiempo, con la evolución de algunas corrientes matemáticas, específicamente las aportaciones realizadas por los matemáticos EULER y BOOLE, a la álgebra, se da inicio a la Lógica Moderna, Matemática, Simbólica o Logística.

De esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, cuantificacional y preposicional.

La Semiótica es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, semántica y pragmática. La primera trata de las relaciones de los símbolos entre si, prescindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el símbolo y lo que significa. La tercera trata de las relaciones entre el símbolo y el sujeto que lo utiliza.

La lógica deóntica se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógica de las normas.


La lógica modal lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad.

La lógica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado), estudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser representados gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada “álgebra booleana”.

La lógica cuantificacional que estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos ∀ o algunos ∃).

La lógica proposicional analiza los razonamientos formalmente válidos partiendo de proposiciones y conectivas preposicionales (operadores lógicos).

Esta lógica simbólica, de la que nos estamos refiriendo, emplea un lenguaje artificial en la que simboliza las proposiciones generalmente con las letras p, q, r, s, t utilizando de operadores lógicos, también llamados conectores, functores, juntores, para poder construir formulas operando sobre las variables proposicionales y las proposiciones complejas.

Finalmente existe otro tipo de lógica que es la dialéctica, aunque ésta no la podemos considerar como integrante de la lógica moderna, toda vez que la misma no tiene un contenido formal, sino ideológico; ni es “pasiva” como la lógica formal, sino que es activa, al obtener principios racionales a través de la interpretación de la historia, utilizando como su estructura en su discurso, la tesis, seguida de la antitesis y su respectiva conclusión denominada síntesis; teniendo sus antecedentes desde los griegos con SOCRATES y PLATÓN quienes la concibieron como una técnica de discusión y de obtención de conclusiones, siendo la misma también estudiada y empleada por algunos filósofos como KANT, HEGEL, MARX, entre otros más.
Una fórmula bien formada se define como:
i. Una fórmula atómica es una fórmula.
ii. es una fórmula también lo será .
iii. Si y son fórmulas entonces la la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia de y también lo será.
iv. Una expresiones una fórmula si y únicamente si se puede demostrar por las anteriores condiciones.
La implicación recibe el nombre de fórmula condicional y la equivalencia el de fórmula by condicional.
La jerarquía de los conectivos lógicos se aplica de la siguiente forma:
Negación, conjunción, Disyunción, Condicional y by condicional

*TABLA DE LEYES DE INFERENCIA


REGLA NOMBRE
P v-P= Ley Medio Excuisivo
P ^- p= f Ley de Contradicción
P v f = p Ley de Identidad
P ^ v = p “”
P v V = Ley de Indepotencia
P ^ f = f “”
P v p = p Ley de Doble Negacion
P^p = p Ley Conmutativa
-(-p) =p “”
P v Q =Q v P Ley Asociativa
P ^ Q =Q ^ P “”
(P v Q ) v R=(Q v R) Ley Asociativa
(P ^ Q) ^ R = P ^(Q ^ R) “”
(P v Q) ^(P v R)= P v (Q ^ R) Ley Distributiva
(P ^ Q) v (P ^ R) = P v (Q v R) “”
-(P v Q)= -P^-Q Ley de Morgan
-(P ^ Q)=-P v-Q “”
Q=-P v Q Ley de EliminaciónP
Q=(P ^P Q)v (-P ^-Q) “”



*LEYES DE INFERENCIA:
Las leyes de inferencia que correspondes a formas de razonamiento elementales cuya validez es fácil de demostrar.






*MODUS PONENDO PONENS (MPP)

P entonces q “si llueve, entonces las calles se mojan”(premisa)
P “Llueve”(Premisa)

Q “Luego, las calles se mojan (conclusión)


El condicional o implificacion es aquella operación qu establee entre dps enunciados una relacion de causa- efecto. La regla poniendo ponens significa, “afirmado afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer termino,en este caso p)se afirma, necesariamente se afirma el consecuente(segundo termino, en este caso q).


*MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)

SIGNIFICA”negando niego”,y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referiamos en primer lugar.

P entonces q “ Si llueve, entonces las calles se mojan”
-q”Las calles no se mojan”


-“luego, no llueve”


Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado(el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente(la causa), puesto que si un efecto no se da , su causa no ha podido darse.

Esto nos permite formular una regla combinada d las ambas anteriore,consecuencia ambas de una misma propiedad de la implificacion es un flecha que apunta en un unico sentido, lo que hace que solo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar solo a partir del consecuente.


*DOBLE NEGACION(DN)
CONJUCION(C):Si si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisias separadas, mediante la adjuncion, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador ^(conjucion)
P “Juan es cocinero”
q “Juan es cocinero y Pedro es policia”


*SIMPLIFICACION(S):

Obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unisdos por una conjucion, podemos hacer de los miembros dos enunciados afirmados por separado.

p ^ q “Tengo una manzana y una pera”

p “Tengo una manzana”

q “Tengo una pera”


*MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

La disyuncion, que se simboliza con el operador V, representa una eleccion entre dos enunciados. Ahora bien , en esa eleccion forma parte de la sposibileidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es compatibles, si bien, ambos no pueden ser falsos.

A partir de lo anterior , se deduce la siguiente regla denominada tollendo ponens(negando afirmo): si uno de los miembros de una disyuncion es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los terminos de la eleccion ha sido descartado.

P V q “He ido al cine o me he ido de compras”
-q “No he ido de compras”

P”Por tanto , he ido de compras”


*LEY DE LA ADICCION
Dado un enunciado cualquiera, es pisible expresarlo como una eleccion (disyuncion) acompañado por cualquier otroenunciado.

P
“He comprado manzanas”

P V q “He comprado manzanas o he comprado peras”




*SILOGISMO HIPOTETICO(SH)

Dados dos implicaciones de las cuales el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemosola construir unaa nueva implificacion cuyo anecedente sea la el de aquella implificacion cuya consecuencia sea el antecedente de la otra imolicacion, cuyo consecuente sea el de esta ultima, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

Epresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y esta consecuencia es una de una segunda consecuencia ,se puede decir que esa primera causa es una causa de esta segunda consecuencia , del mimos modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia logica:

p entonces q “Si una bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”
q entonces r “Si la bola blanca golpea a la bola negra se mueve”


p entonces r “Si la bola blanca golpea a la bola negra , la bola negra se mueve”



*SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyuncion cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concliuir en una nueva premisa en forma de disyuncion, cuyos miembros serian los consecuentes de las implicaciones. Lógicamente, si planteamos una eleccion entre dos causas. Podemos plantear una eleccio igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.


P entonces q “Si llueve, entonces las calles se mojan”

R entonces s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

p V r “Llueve o la tierra tiembla”

q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”


*SIMPLIFICACION DISYUNTIVA (SD)

Si didsponemos de dos premisas que corresponden a dos implificaciones con elmismos consecuente, y sus antecedentes se corresponde con los dos miembros de una disyuncion, podemos concluir con el consecuente d ambas implicaciones.


P v q “Helado de fresa o helado de vainilla”
P entonces r “Si tomamos helado de fresa entonces repites”
Q entonces r “Si tomamos helado de vainilla entonces repites”

r luego ,repites


*LEY CONMUTATIVA

Esta ley, no es valida para la implificacion, pero si para conjucion y para la disyuncion. Una conjucion es afirmar que se dan dos cosas a las vez, de modo que el orden de sus elementos no cambian este hecho. Igualmente, una disyuncion es presentar una eleccion entre dos cosas , sin importar en que orden se presente esta eleccion. Asi pues,


P ^ q si y solo si q ^p <<p y q>> equivale a <<q y p>>
Pvq si q solo si qvp “<<p o q>>equivale a <<q o q>>


*LEYES DE MORGAN(DM)


Esta ley permite trasformar una disyuncion en una conjucion, y viceversa, es decir, una conjucion en una disyuncion. Cuando se pasa de otra, se cambia los valores de afirmación y negacion de los términos de la disyunción/ conjucion asi como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:

P ^ q p v q

-(-pv-q) – (-q ^ - q)





Ramón Arzola 19.701.610 mecanica 1”A” matutino
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Mayorga Dionimar
Invitado





MensajePublicado: Lun May 28, 2007 9:05 pm    Asunto: leyes de la logica Responder citando

Leyes principales de la lógica de proposiciones
Existen varias equivalencias lógicas proposicionales parecidas a las del Álgebra Booleana
Leyes equipotenciales
PÚ PÛ P
PÙ PÛ P

Leyes asociativas
(PÚ Q)Ú RÛ PÚ (QÚ R)
(PÙ Q)Ù RÛ PÙ (QÙ R)

Leyes conmutativas
PÚ QÛ QÚ P
PÙ QÛ QÙ P

Leyes distributivas
PÚ (QÙ R)Û (PÚ Q)Ù (PÚ R)

PÚ FÛ P

PÚ TÛ T

PÚ Ø PÛ T
PÙ (QÚ R)Û (PÙ Q)Ú (PÙ R) PÙ TÛ P

PÙ FÛ F

PÙ Ø PÛ F

Leyes de absorción
PÚ (PÙ Q)Û P
PÙ (PÚ Q)Û P

Leyes de identidad
(PÚ F)Û P

(PÚ T)Û T
(PÙ F)Û F

(PÙ T)Û P

Leyes complementarias
(PÚ Ø P)Û T
Ø Ø PÛ P

(PÙ Ø P)Û F

Leyes de Morgan
Ø (PÚ Q)Û Ø PÙ Ø Q
Ø (PÙ Q)Û Ø PÚ Ø Q

Leyes condicionales
(P® Q)Û (Ø PÚ Q)
(P® Q)Û (Ø Q® Ø P)

Leyes bicondicionales
(P« Q)Û ((P® Q)Ù (Q® P))
(P« Q)Û ((Ø PÙ Ø Q)Ú (PÙ Q)
Equivalencias lógicas proposicionales

Ejemplo
(p® (Ø qÚ p))

(Ø pÚ (Ø qÚ p)) Ley condicional i

((Ø qÚ p)Ú Ø p) Ley conmutativa i

(Ø qÚ (pÚ Ø p)) Ley asociativa i

(Ø qÚ T) Ley complementaria i

T Ley de identidad
2.5. Implicaciones lógicas
PÙ QÞ P (01)
PÙ QÞ Q (02)
PÞ PÚ Q (03)
Ø PÞ P® Q (04)
QÞ P® Q (05)
Ø (P® Q)Þ P (06)
Ø (P® Q)Þ Ø Q (07)
PÙ (P® Q)Þ Q (0Cool
Ø QÙ (P® Q)Þ Ø P (09)
Ø PÙ (PÚ Q)Þ Q (10)
(P® Q)Ù (Q® R)Þ P® R (11)
(PÚ Q)Ù (P® R)Ù (Q® R)Þ R (12)
2.6. Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia usa dos tipos de elementos: los datos (hechos o evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas almacenadas en la base de conocimiento), para obtener nuevas conclusiones o hechos. Por ejemplo, si la premisa de una regla es cierta. Los datos iniciales se incrementan incorporando las nuevas conclusiones. Por ello, tanto los hechos iniciales o datos de partida como las conclusiones derivadas de ellos forman parte de los hechos o datos de que se dispone en un instante dado.

Las conclusiones pueden clasificarse en dos tipos: simples o compuestas. Las conclusiones simples son las que resultan de una regla. Las conclusiones compuestas son las que resultan de más de una regla. Para obtener conclusiones, los expertos utilizan diferentes tipos de reglas y estrategias de inferencia y control.

Tipos de reglas de inferencia
Modus Ponens

Modus Tollens

Mecanismo de Resolución

Modus Ponens
Es quizás la regla de inferencia más comúnmente utilizada. Se utiliza para obtener conclusiones simples. En ella, se examina la premisa de la regla, y si es cierta, la conclusión pasa a formar parte del conocimiento. Considere el siguiente ejemplo, supóngase que se tiene la regla, "Si A es cierto, entonces B es cierto" y que se sabe además que "A es cierto". Entonces la regla Modus Ponens concluye que "B es cierto". Esta regla de inferencia, que parece trivial, debido a su familiaridad, es la base de un número de sistemas expertos.

Ejemplo
p® q
p

½ ¾

q

Modus Tollens

Se utiliza también para obtener conclusiones simples. En este caso se examina la conclusión y si es falsa se concluye que la premisa también es falsa. Por ejemplo, supóngase de nuevo que se tiene la regla "A es cierto, entonces B es cierto" pero se sabe que "B es falso". Entonces, utilizando la regla Modus Ponens no se puede obtener ninguna conclusión, pero, la regla Modus Tollens concluye que "A es falso". Auque muy simple y con muchas aplicaciones útiles, la regla Modus Tollens es menos utilizada que la Modus Ponens.

Por ello, la regla Modus Ponens se mueve hacia delante, es decir, de la premisa a la conclusión de una regla, mientras que la regla Modus Tollens se mueve hacia atrás, es decir, de la conclusión a la premisa. Las dos reglas de inferencia no deben ser vistas como alternativas sino como complementarias. La regla Modus Ponens necesita información de los objetos de la premisa para concluir, mientras que la regla Modus Tollens necesita información sobre los objetos de la conclusión. De hecho, para un motor de inferencia que solamente utiliza Modus Ponens, la incorporación de la regla de inferencia Modus Tollens puede ser considerada como una expansión de la base de conocimiento mediante la adición de reglas.

Ejemplo:


p® q

Ø q

½ ¾

Ø p

Mecanismo de resolución

Las reglas de inferencia Modus Ponens y Modus Tollens pueden ser utilizadas para obtener conclusiones simples. Por otra parte, las conclusiones compuestas, que se basan en dos o más reglas, se obtienen usando el llamado mecanismo de resolución. Esta regla de inferencia consiste en las etapas siguientes:


Las Reglas son sustituidas por expresiones lógicas equivalentes.


Estas expresiones lógicas se combinan en otra expresión lógica.


Esta última expresión se utiliza para obtener la conclusión.

Estas etapas involucran conceptos tales como la combinación y simplificación de expresiones lógicas, que se ilustra de modo intuitivo en el siguiente ejemplo.

Supóngase que se tienen las dos reglas:

Regla 1: Si A es cierto, entonces B es cierto

Regla 2: Si B es cierto, entonces C es cierto

La primera etapa en el mecanismo de resolución consiste en sustituir cada una de las dos reglas por expresiones lógicas equivalentes. Esto se hace como sigue:

La Regla 1 es equivalente a la expresión lógica: "A es falso o B es cierto".

Similarmente, la Regla 2 es equivalente a la expresión lógica: "B es falso o C es cierto
A
B
Ā
Si A, entonces B
Ā o B

V
V
F
V
V

V
F
F
F
F

F
V
V
V
V

F
F
V
F
V



Figura No. 12 Tabla de verdad mostrando que la regla "Si A es cierto, entonces B es cierto" es equivalente a la expresión lógica "A es falso o B es cierto"

La segunda etapa consiste en combinar las dos expresiones anteriores en una, tal como sigue: las expresiones lógicas "A es falso o B es cierto y "B es falso o C es cierto" implican la expresión "A es falso o C es cierto". Una prueba de esta equivalencia se muestra en la figura No. 13. Esta última expresión se utiliza seguidamente en la tercera etapa para obtener la conclusión.


A
B
C
Ā o B
o C
(Ā o B) y ( o C)
Ā o C

V
V
V
V
V
V
V

V
V
F
V
F
F
F

V
F
V
F
V
F
V

V
F
F
F
V
F
F

F
V
V
V
V
V
V

F
V
F
V
F
F
V

F
F
V
V
V
V
V

disculpe pero no se hacer el cuadro MAYORGA DIONIMAR [color=red]
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Camejo Dionimar
Invitado





MensajePublicado: Mar May 29, 2007 8:33 pm    Asunto: Demostraciones Matematicas Responder citando

Demostrciones Matematicas:
Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis.

Pasos que deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de demostracion matematica o deduccion:
1- Un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos.En matemáticas un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

2-Un 'teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el juego central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión

Existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:
*Demostración por contraposición
*Demostración por reducción al absurdo, y como caso particular, descenso infinito
*Inducción matemática

Demostración automática de teoremas consisten en aplicar métodos computacionales para demostrar teoremas. Es decir, demostración de teoremas con un ordenador. Estas técnicas son especialmente viables como herramienta para demostrar teoremas de geometría plana.

1-En líneas generales, el procedimiento es el siguiente:

2-El teorema a demostrar se traduce en términos algebraicos: tanto las hipótesis como la tesis se expresan como condiciones del tipo y respectivamente.
3-La veracidad del teorema es entonces equivalente a que esté en el ideal generado por (lo que equivale a que la anulación de en un punto implique la anulación de en ese punto).
4-El problema de pertenencia de un polinomio a un ideal es un problema clásico en álgebra computacional; una técnica habitual de resolución de este problema es el cálculo de una base de Gröbner adecuada

MAYORGA DIONIMAR#25 MECANICA 1 MATUTINO
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Jesus Guevara
Invitado





MensajePublicado: Mar May 29, 2007 8:48 pm    Asunto: leyes de la logica proposicional Responder citando

Leyes de la logica:
La lógica matemática estudia la forma del razonamiento, se considera como una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido o no.

El cálculo proposicional o lógica proposicional, es la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquéllas.

El calculo de predicados está basado en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

Proposiciones

Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.

Proposiciones simples o hechos

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:


El cielo es azul


La nieve es fría


12*12=144


Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana


La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son falsas:


Honda hace televisiones


El General Fidel Castro es un Demócrata


8+99=231


Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis


Atenas es la capital de Italia

Las siguientes son proposiciones no validas:


Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.


Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.


Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.


La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.


Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.


¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.


12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.


Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.

Proposiciones compuestas

Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.

2.2. Operaciones sobre las proposiciones

Algunos autores por ejemplo agrupan los conectores que se utilizan sobre las proposiciones, en el calculo proposicional en dos agrupaciones (como la que se muestra en seguida), aunque normalmente otros los clasifican según su importancia:

Conectivos agrupados según Balancing Bird © 199 G. Benton

Monódico: envuelve solamente una expresión de la declaración

La negación, simbolizada por "¬" y significa no es verdad.

Diádico: envuelve dos proposiciones.

El conector AND es simbolizado por "^" y significa "y"

El conector OR es simbolizado por "v" y significa "o"

La condición es simbolizado por "® " y se lee "Sí... entonces"

Bicondicional es simbolizado por "« " y se lee "Sí y solo sí"

Reuniendo todos los conectivos en una tabla según su importancia, quedaría como se muestra en la figura No. 1:


Nombre
Simbología
Significado

Negación
Ø ,- ,~
No

Conjunción
Ù ,·
Y

Disyunción
Ú
O

Condicional
® ,É
Sí...Entonces

Bicondicional
« ,º
Sí y solo sí

La proposición lógica hace más fácil y efectiva la manipulación de valores de verdad entre proposiciones. Las tablas de verdad muestran los principales valores de verdad de diferentes grupos de proposiciones conectados por operadores. Los valores de verdad de una proposición compuesta dependen en los valores de verdad de estos componentes (p, q, r, s...) y de la función del conector. Asignando símbolos a proposiciones y conectores, expresando relaciones entre declaraciones dentro de una tabla de verdad donde los valores de verdad son mas fácilmente reconocidos, tan bien como formalizados.

Breve explicación de los conectores

Negación

La negación es la inversa de los valores de verdad de una declaración
p
Ø p

V
F

F
V


guevara jesus#18786214
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kervin hernandez
Invitado





MensajePublicado: Mar May 29, 2007 9:07 pm    Asunto: las leyes Responder citando

LAS LEYES LOGICAS DE PROPOSICIONES:
El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.

La Lógica Matemática surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica del razonamiento matemático humano (y actualmente también de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lógica en términos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.

La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y, sobre todo, la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.

Proposiciones

Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.

Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.

Proposiciones simples o hechos

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:


El cielo es azul


La nieve es fría


12*12=144


Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana


La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945

Las siguientes proposiciones simples son falsas:

La proposición lógica hace más fácil y efectiva la manipulación de valores de verdad entre proposiciones. Las tablas de verdad muestran los principales valores de verdad de diferentes grupos de proposiciones conectados por operadores. Los valores de verdad de una proposición compuesta dependen en los valores de verdad de estos componentes (p, q, r, s...) y de la función del conector. Asignando símbolos a proposiciones y conectores, expresando relaciones entre declaraciones dentro de una tabla de verdad donde los valores de verdad son mas fácilmente reconocidos, tan bien como formalizados.

Breve explicación de los conectores

Negación

La negación es la inversa de los valores de verdad de una declaración

p
Ø p

V
F

F
V

Negación

Ejemplos


Algunas personas tienen miedo a morir (p)


Algunas personas no tienen miedo a morir (Ø p)

Lo que se considera en este caso es solo negar la proposición original, utilizando la negación de la proposición.

Conjunción

Cuando conjugamos dos declaraciones, tiene el sentido de afirmar que son simultáneamente verdaderas. Por ejemplo, al decir que "Londres es la capital de Inglaterra y Cuba es una isla,". El conector funciona indicando que las dos proposiciones conjuntadas son verdaderas, de modo que si p es la proposición "Londres es capital de Inglaterra" y q es la proposición "Cuba es una isla", la conjunción de ambas proposiciones se representará de la siguiente manera:

Asignación de valores
proposición

p = Londres es capital de Inglaterra

q = Cuba es una isla
pÙ q (y se lee "p y q")

Londres es capital de Inglaterra y Cuba es una isla


Considerando que la conjunción de dos proposiciones cualquiera indica la verdad simultanea de ambas, la proposición compuesta resultante es verdadera si efectivamente ambas son verdaderas. En otro caso la proposición resultante es falsa. Resumiendo todo esto en una tabla de verdad


p
q
pÙ q

V
V
V

V
F
F

F
V
F

F
F
F



Conjunción
Disyunción

La disyunción tiene la función de enlazar dos proposiciones, indicando que al menos una de ellas es verdadera (aunque pueden serlo ambas también); supongamos el siguiente ejemplo, si p es la proposición "3 es un número primo" y q es la proposición "3 es un número natural". La proposición compuesta indica que cuando menos una de las proposiciones simples es verdadera.

En general, dada una proposición compuesta cuya conectiva es una disyunción, será verdadera si al menos una de las alternativas es verdadera (y por supuesto cuando las dos lo sean). Será falsa sólo cuando las dos alternativas sean falsas. En la figura No. 4 veremos como quedaría el ejemplo asignándole variables a las proposiciones simples, así como, Checaremos y revisemos la explicación anterior.

Asignación de valores
proposición

p = 3 es un número primo

q = 3 es un número natural
pÚ q (y se lee " p ó q")

3 es un número primo o 3 es un número natural




p
q
pÚ q

V
V
V

V
F
V

F
V
V

F
F
F

Disyunción

Condicional
Al relacionarse dos proposiciones con este conector es muy importante distinguir la que queda a la izquierda (a la que se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se llama consecuente).

El sentido de este conector es señalar, que si la proposición antecedente es verdadera, también lo es la proposición consecuente; es decir, basta o es suficiente que el antecedente sea verdadera, para que el consecuente también sea verdadero. De aquí que una proposición compuesta en la que el conector es condicional, será falsa si siendo verdadero el antecedente, es falso el consecuente. La proposición será verdadera en los demás casos, en los que no ocurre que el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Ejemplo. Sí p es la proposición "Marte es un planeta", en tanto que q es la proposición "Marte brilla con luz propia".

Asignación de valores
proposición

p = Marte es un planeta

q = Marte brilla con luz propia
p® q (y se lee " Si p, entonces q")

Si Marte es un planeta entonces Marte brilla con luz propia

p
q
p® q

V
V
V

V
F
F

F
V
V

F
F
V

Condicional

Bicondicional

Esta expresión es un conector lógico que al relacionar dos proposiciones indica que el valor de verdad de ambas es el mismo, ya sea verdadero o falso. Así, p« q es una proposición que significa que si p es verdadera, entonces q también es verdadera y si q es verdadera, entonces p también es verdadera. En realidad la conectiva Bicondicional es la conjunción (Ù ) de dos proposiciones condiciones (si...entonces). es decir, la proposición p« q tiene el mismo sentido que la proposición (p® q)Ù (p® q)

Consideremos el siguiente ejemplo: asignémosle valores a las variables que estamos utilizando. De esta manera si p toma la proposición de "Febrero tiene 29 días" y q es "El año es bisiesto".

Asignación de valores
proposición

p = Febrero tiene 29 días

q = El año es bisiesto
p® q (y se lee " Sí y solo sí q")

Febrero tiene 29 días si y solo si el año es bisiesto


Ahora cheque su tabla de verdad


p
q
p« q

V
V
V

V
F
F

F
V
F

F
F
V

Bicondicional

En este conector la regla a utilizar es la siguiente, la proposición es verdadera siempre y cuando las dos proposiciones sean verdaderas o falsas.

Tablas de verdad

En este caso explicaremos con mas detalles como se construye una tabla de verdad, en este caso con 3 variables.

Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.


Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.


Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.

Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis.


Ejemplo: (pÙ q)Ú (r® q)


p
q
r
(pÙ q)Ú (r® q)

V
V
V
V
V
V

V
V
F
V
V
V

V
F
V
F
F
F

V
F
F
F
V
V

F
V
V
F
V
V

F
V
F
F
V
V

F
F
V
F
F
F

F
F
F
F
V
V

2.3. Tautología, contradicción e incongruencia

Tautología

Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples.


p
q
Ø p
Ø pÚ p

V
V
F
V

V
F
F
V

F
V
V
V

F
F
V
V

Tautología

Contradicción

Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.

Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología.


p
q
Ø p
Ø pÙ p

V
V
F
F

V
F
F
F

F
V
V
F

F
F
V
F


Incongruencia

Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples


P
q
p® q

V
V
V

V
F
F

F
V
V

F
F
V

Incongruencia

2.4. Leyes principales de la lógica de proposiciones

Existen varias equivalencias lógicas proposicionales parecidas a las del Álgebra Booleana

Denominación
Representación lógica

Leyes equipotenciales
PÚ PÛ P
PÙ PÛ P

Leyes asociativas
(PÚ Q)Ú RÛ PÚ (QÚ R)
(PÙ Q)Ù RÛ PÙ (QÙ R)

Leyes conmutativas
PÚ QÛ QÚ P
PÙ QÛ QÙ P

Leyes distributivas
PÚ (QÙ R)Û (PÚ Q)Ù (PÚ R)

PÚ FÛ P

PÚ TÛ T

PÚ Ø PÛ T
PÙ (QÚ R)Û (PÙ Q)Ú (PÙ R) PÙ TÛ P

PÙ FÛ F

PÙ Ø PÛ F

Leyes de absorción
PÚ (PÙ Q)Û P
PÙ (PÚ Q)Û P

Leyes de identidad
(PÚ F)Û P

(PÚ T)Û T
(PÙ F)Û F

(PÙ T)Û P

Leyes complementarias
(PÚ Ø P)Û T
Ø Ø PÛ P

(PÙ Ø P)Û F

Leyes de Morgan
Ø (PÚ Q)Û Ø PÙ Ø Q
Ø (PÙ Q)Û Ø PÚ Ø Q

Leyes condicionales
(P® Q)Û (Ø PÚ Q)
(P® Q)Û (Ø Q® Ø P)

Leyes bicondicionales
(P« Q)Û ((P® Q)Ù (Q® P))
(P« Q)Û ((Ø PÙ Ø Q)Ú (PÙ Q)

Equivalencias lógicas proposicionales

Ejemplo


(p® (Ø qÚ p))


(Ø pÚ (Ø qÚ p)) Ley condicional i


((Ø qÚ p)Ú Ø p) Ley conmutativa i


(Ø qÚ (pÚ Ø p)) Ley asociativa

(Ø qÚ T) Ley complementaria

T Ley de identidad

2.5. Implicaciones lógicas

PÙ QÞ P (01)

PÙ QÞ Q (02)

PÞ PÚ Q (03)

Ø PÞ P® Q (04)

QÞ P® Q (05)

Ø (P® Q)Þ P (06)

Ø (P® Q)Þ Ø Q (07)

PÙ (P® Q)Þ Q (0Cool

Ø QÙ (P® Q)Þ Ø P (09)

Ø PÙ (PÚ Q)Þ Q (10)

(P® Q)Ù (Q® R)Þ P® R (11)

(PÚ Q)Ù (P® R)Ù (Q® R)Þ R (12)

kervin#19361659[color=green]
[i][size=9]
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dionimar mayorga
Invitado





MensajePublicado: Mar May 29, 2007 9:35 pm    Asunto: Demostraciones Responder citando

MÉTODO DEDUCTIVO DIRECTO – INFERENCIA O CONCLUSIÓN INMEDIATA. Se obtiene el juicio de una sola premisa, es decir que se llega a una conclusión directa sin intermediarios. Ejemplo:

"Los libros son cultura"

"En consecuencia, algunas manifestaciones culturales son libros"

MÉTODO DEDUCTIVO INDIRECTO – INFERENCIA O CONCLUSIÓN MEDIATA - FORMAL. Necesita de silogismos lógicos, en donde silogismo es un argumento que consta de tres proposiciones, es decir se comparan dos extremos(premisas o terminos) con un tercero para descubrir la relación entre ellos. La premisa mayor contiene la proposición universal, la premisa menor contiene la proposición particular, de su comparación resulta la conclusión. Ejemplo:

"Los ingleses son puntuales"

"William es ingles"

"Por tanto, William es puntual"

MÉTODO HIPOTÉTICO-DEDUCTIVO
Un investigador propone una hipótesis como consecuencia de sus inferencias del conjunto de datos empíricos o de principios y leyes más generales. En el primer caso arriba a la hipótesis mediante procedimientos inductivos y en segundo caso mediante procedimientos deductivos. Es la vía primera de inferencias lógico deductivas para arribar a conclusiones particulares a partir de la hipótesis y que después se puedan comprobar experimentalmente.

MÉTODO LÓGICO INDUCTIVO
Es el razonamiento que, partiendo de casos particulares, se eleva a conocimientos generales. Este método permite la formación de hipótesis, investigación de leyes científicas, y las demostraciones. La inducción puede ser completa o incompleta.

INDUCCIÓN COMPLETA. La conclusión es sacada del estudio de todos los elementos que forman el objeto de investigación, es decir que solo es posible si conocemos con exactitud el numero de elementos que forman el objeto de estudio y además, cuando sabemos que el conocimiento generalizado pertenece a cada uno de los elementos del objeto de investigación. Las llamadas demostraciones complejas son formas de razonamiento inductivo, solo que en ellas se toman muestras que poco a poco se van articulando hasta lograr el estudio por inducción completa. Ejemplo:

"Al estudiar el rendimiento académico de los estudiantes del curso de tercero de administración, estudiamos los resultados de todos los estudiantes del curso, dado que el objeto de estudio es relativamente pequeño, 25 alumnos. Concluimos que el rendimiento promedio es bueno. Tal conclusión es posible mediante el análisis de todos y cada uno de los miembros del curso."

INDUCCIÓN INCOMPLETA: Los elementos del objeto de investigación no pueden ser numerados y estudiados en su totalidad, obligando al sujeto de investigación a recurrir a tomar una muestra representativa, que permita hacer generalizaciones. Ejemplo:

"los gustos de los jóvenes colombianos en relación con la música"

El método de inducción incompleta puede ser de dos clases:


Método de inducción por simple enumeración o conclusión probable. Es un método utilizado en objetos de investigación cuyos elementos son muy grandes o infinitos. Se infiere una conclusión universal observando que un mismo carácter se repite en una serie de elementos homogéneos, pertenecientes al objeto de investigación, sin que se presente ningún caso que entre en contradicción o niegue el carácter común observado. La mayor o menor probabilidad en la aplicación del método, radica en el numero de casos que se analicen, por tanto sus conclusiones no pueden ser tomadas como demostraciones de algo, sino como posibilidades de veracidad. Basta con que aparezca un solo caso que niegue la conclusión para que esta sea refutada como falsa.


Método de inducción científica. Se estudian los caracteres y/o conexiones necesarios del objeto de investigación, relaciones de causalidad, entre otros. Este método se apoya en métodos empíricos como la observación y la experimentación. Ejemplo:

"Sabemos que el agua es un carácter necesario para todos los seres vivos, entonces podemos concluir con certeza que las plantas necesitan agua".

En el método de inducción encontramos otros métodos para encontrar causas a partir de métodos experimentales, estos son propuestos por Mill:

Método de concordancia: Compara entre si varios casos en que se presenta un fenómeno natural y señala lo que en ellos se repite, como causa del fenómeno.

Método de diferencia: Se reúnen varios casos y observamos que siempre falta una circunstancia que no produce el efecto, permaneciendo siempre todas las demás circunstancias, concluimos que lo que desaparece es la causa de lo investigado.

Método de variaciones concomitantes: Si la variación de un fenómeno se acompaña de la variación de otro fenómeno, concluimos que uno es la causa de otro.

Método de los residuos: Consiste en ir eliminando de un fenómeno las circunstancia cuyas causas son ya conocidas. La circunstancia que queda como residuo se considera la causa del fenómeno.


Demostración por el método directo.

Supóngase que p® q es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.

p1

p2

pn

___

\ q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el teorema", es demostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

Sean

p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el coche en mi casa.


Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".

El enunciado anterior se puede representar como:

p Ú q ® r; y r ® s; entonces s' ® q'

Equivale también a probar el siguiente teorema:

[(p Ú q) ® r] Ù [r ® s] Þ [s' ® q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general:

p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1.- (p Ù q) ® r Hipótesis

2.- r ® s Hipótesis

3.- q ® (q Ù p) Adición tautología 10

4.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 2

5.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 22

6.- q ® s 5,2; regla 22

7.- s' ® q' 6; contrapositiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.

Demostración por contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

[ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ t

Demostración

1.- p ® (p Ù r) Hipótesis

2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú s Hipótesis

4.- t’ Negación de la conclusión

5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25

6.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª

7.- q’ 6; Simplificación, regla 20

8.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b

9.- s’ 8; Simplificación, regla 20

10.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª

11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

12.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 24

13.- q 12; Simplificación, regla 29

14.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 23

15.- Contradicción.

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados.

La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

Conclusiones.

La idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.

Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.

Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.

Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.

Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.


Camejo Dionimar#18697013 ing mecanica "A1"
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